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By S. Lie, E. Study, F. Engel (auth.), G. Czichowski, B. Fritzsche (eds.)

In diesem Monat feiern wir den a hundred and fifty. Geburtstag von SOPHUS LIE, einem der größten Mathematiker des vorigen Jahrhunderts. Es ist daher sehr zu begrüßen, daß der Teubner­ Verlag, einer langen Traditionslinie bei der Veröffentlichung von LIES Werken folgend, in seine Reihe "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" Arbeiten von SOPHUS LIE und seinen Zeitgenossen EDuARD research und FRIEDRICH ENGEL aufgenommen hat. Ausgewählt wurden Beiträge zur Theorie der Differentialinvarianten. Zum einen ist dies ein Gebiet, auf dem alle drei tätig gewesen sind und das als Ausgangspunkt großer Liescher Ideen zur Anwendung gruppentheoretischer Methoden in der research betrachtet werden kann, obwohl es nur einen Ausschnitt aus LIES Schaffen darstellt. Zum anderen vermitteln die hier vorgestellten Arbeiten durch ihren kritischen Stil und durch den Streit um unterschied­ liche mathematische Auffassungen interessante Einblicke in das mathematische Geschehen jener Zeit. Neben der Würdigung dieser drei namhaften Mathematiker stellt der vorliegende Band den Ursprung der Lieschen Theorie, ihre weitere Entwicklung und spätere Ausprägung dar. Wir danken dem Teubner-Verlag und insbesondere Herrn J. WEISS für das freundliche Entgegenkommen und die gute Zusammenarbeit. Greifswald und Leipzig, Dezember 1992 GÜNTER CZICHOWSKI BERND FRITZSCHE SOPHUS LIE Ölgemälde von ERIK THEODOR WERENSKIOLD aus dem Jahre 1902; im Besitz der Universität Oslo (Katalognummer 818) Inhalt S. Lie: Über Gruppen von Transformationen, 1874. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. five (1924),1-8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eight S. Lie: Über Differentialinvarianten, 1884. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. 6 (1927), 95-l38) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sixteen . . . . . . . S. Lie: Über die Gruppe der Bewegungen und ihre Differentialinvarianten, 1893. (Gesammelte Abhandlungen, Bd. 6 (1927), 376-383) . . . . . . . . . . . . . . .

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Die vorliegende Dissertation entstand wiihrend meiner Tlitigkeit als wissenschaftIicher Mitarbei ter am Fraunhofer-Institut fiir Produktionstechnik und Automatisierung (IPA), Stuttgart. Herrn Professor Dr. -Ing. H. -I. Warnecke, dem ehemaligen Leiter dieses Institutes und jetzigen Prasidenten der Fraunhofer-Gesellschaft, danke ich flir die groBziigige Unterstiitzung und For derung, welche die Durchfiihrung dieser Arbeit ermoglichte.

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Wolfhard von Thienen ist Mitarbeiter der HMT Informationssysteme GmbH in Grasbrunn bei München, ein Dienstleistungsunternehmen insbesondere für die Bereiche Banken, Versicherungen und Handel. Er ist als Berater und Projektleiter tätig und hat an der Konzeption und Realisierung moderner Client/Server-Systeme verantwortlich mitgewirkt.

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V, Abh. XIII]). Indem ich [555 im 'Übrigen auf die soeben zitierte wie auf meine älteren Arbeiten verweise, beschränke ich mich hier auf nachstehende Bemerkungen, die für das Folgende genügen. Ich denke mir eine beliebige endliche oder unendliche kontinuierliche Transformationsgruppe der Mannigfaltigkeit: X u x s , ... , x n vorgelegt. Sind: of of of Bf= ~1 "X + ~s "X + ... +~" "'-x' U 1 t U n . (j 01 cf Cf=""'/lox -+"""2 -+ 0X of ... +"""nox" zwei gegebene infinitesimale Transformationen dieser Gruppe, so ist es auf verschiedene Weisen möglich, neue infinitesimale Transformationen, die ebenfalls in der Gruppe enthalten sind, zu konstruieren.

20, Z. 3-1 v. ]). Sind mehrere Funktionen von x, y, S, p, q, r, s, t vorgelegt, so bestimmen dieselben offenbar simultane Invarianten und Kovarianten gegenüber allen Punkt- oder Berührungstransformationen. 21. Denken wir uns insbesondere algebraische partielle Differentialgleichungen vorgelegt, so vereinfacht sich die Theorie ihrer Invarianten. Wir wollen insbesondere eine Gleichung von der Form: r + Bs + Ct betrachten. Führen wir neue Variabeln: (17) Xl = X (x, y, z), Yl +D 0 = = Y, SI Z = ein, so erhalten wir eine Gleichung von analoger Form: r1 + BI SI + Cl t1 + D 1 = 0.

T, ... , OZ bei einer infinitesimalen Transformation der besprochenen Gruppe, und findet hiernach beliebig viele Invarianten (Und Kovarianten) der Gleichung (20) gegenüber unserer Gruppe. 24. Wir bringen nach Gauß Vorgang das Bogenelement einer beliebigen Fläche auf die Form: (22) Führen wir nun neue Variable: Xl = X(x, y), Yl = Y(x, y) ein, so erhält unser Bogenelement die neue Form: ds 2 = E1dx~ + 2F1dx1dY1 + G1dy~. Dabei werden Eil F 1 und GI als Funktionen von E, F, G, x, y durch gewisse Relationen bestimmt, die mit: Xl = X, Y1 = Y vereinigt eine unendliche Gruppe bilden.

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